【数Ⅲ 微積分】対数logの積分

受験

今回は対数logの積分について。これは知っているか知っていないかの問題という側面が強いです。おそらく頻出だと指導される指導者もおられるでしょう。僕から見ると、実際に入試問題を見てみるとそこまで頻出では無いと思います。しかし、知っていないとせっかく解ける問題でもそこで止まってしまうということがあるのでしっかり知っておいてほしいです

対数logの積分の結果は暗記すべきもの?

この質問に対する答えは最初にほぼ書いてしまいましたが・・・

logの積分結果は覚えておくべきものだと思います。頻出ではありませんが、これを使わないと進まないということがあるので。導出自体もそんなに難しくない部分積分なので、理解しておけると良いでしょう。導出は、理解さえすれば覚えるほどでも無いと思います。

計算過程は?

さて、結論を先に。

$$\int \mathrm{log}x dx=x\mathrm{log}x-x+C(Cは積分定数)$$

これが結論になります。入試レベルでこれを導出させることは稀です。しかし某用問題集で導出まで含めて書かせることがそれなりにあるので、定期テストで出題されることもあるでしょうから、一応導出は書いておきます。

$$\mathrm{log}x=1 \times \mathrm{log}xとみましょう。$$

$$そして、1を積分、\mathrm{log}xを微分、という方針で部分積分しましょう。$$

$$\int \mathrm{log}x=\int 1 \times \mathrm{log}x$$

$$=x \mathrm{log}x- \int x \times \frac{d}{dx}(\mathrm{log}x) dx$$

$$=x \mathrm{log}x- \int 1 dx$$

$$=x \mathrm{log}x-x+C(C:積分定数)$$

答案で示す必要性は?

個人的には、答案に示す必要はないと思います。おそらく大学の教授は当たり前だとお思っている人が多いでしょうから。

しかし、入試問題によってはこのレベルを問うことを中心にしているということも考えられます。特に、全統記述の最初の小問集合レベルならこの問題くらいのレベルだと思いますから、そういう場合は部分積分したことが分かるように書きましょう。


数Ⅲの微積分は、大学レベルの微積分を高校で教えよう、という側面が強いです。そのため、どうしても”知っていなきゃ解けない”という問題が出てきます。そういったとこは知っておけばできるんですから、少しでもその知識を提供できるように様々な記事をアップしていこうと考えています。ぜひ、参考にしてください。

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