リュードベリ定数の導出

化学

今回は、リュードベリ定数の導出です。計算問題という側面が強いので早速いきましょう。


ボーアの量子条件は、

$$ 2\pi r \cdot mv=nh $$

電子の運動方程式は、

$$ \displaystyle -k_0 \frac{e^2}{r^2}=m(-\frac{v^2}r)$$

1つ目の式を2つ目の式に代入すれば、

$$ v=\frac{e^2}{2 \varepsilon_0 hn} $$

$$ r_n= \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi me^2}n^2 = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi me^2}n^2 $$

一方、電子の全エネルギーを考えれば、

$$ E= \frac{mv^2}{2}- \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r} $$

であるから、この式にvとr を代入して、

$$ E_n=- \frac{me^4}{8 \varepsilon_0 ^2 h^2} \frac{1}{n^2} $$

mからnへの遷移によって放出または吸収される光のエネルギーは、

$$ h \nu =E_m -E_n= \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} (\frac{1}{m^2}- \frac{1}{n^2}) $$

これらより、

$$ \frac{1}{\lambda}=\frac{v}{c} = \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) $$

この式の

$$ \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} $$

がリュードベリ定数である。すなわち、

$$ R_H = \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} $$

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