シュレーディンガー方程式の解と量子数

化学

今回は、水素原子のシュレーディンガー方程式の解と量子数と呼ばれるものについて。

シュレーディンガー方程式の解

シュレーディンガー方程式の解は一般に、次で与えられます。

$$ \psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)$$

ここで、$$R(r)$$は動径関数とよばれ、ラゲール陪関数、$$Y(\theta,\phi)$$は角度関数と呼ばれルジャンドル関数が用いられている。

量子数(n,l,m)

量子数は3つの整数で記されます。なぜ量子数が3つかということは、3次元だからと考えておけばよいでしょう。

量子数(n.l,m)に対して、

n:主量子数

l:方位量子数(角運動量量子数)

m:磁気量子数

とよばれる。量子数の間の関係は次の通り。

n=1,2,3,・・・

l=0,1,2,3,・・・n-1

m=-l,-l+1,・・・l-1,l

です。これらは覚えておきましょう。

これらの使い方というか意味ですが、

n;節の数を決定 節の数はn-1個となります。

l;電子軌道を決定 n=1の場合、s軌道、n=2の場合d起動・・・となります。

ドブロイの物質波を表す関数(固有関数)

ドブロイの物質波を表す関数は次で与えられます。

$$ \psi_{nlm}(r,\theta,\phi)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$$

ここで、mは符号を含めて書くことに注意しましょう。

縮退状態とは

縮退状態とは、要は状態が異なるのに同じエネルギーである状態です。もっといえば、nが同じだが、lまたはmもしくはその両方が異なる、という場合です。こういえばわかりやすいでしょう。例えば同じエネルギーの状態が4個あるとすれば、4重に縮退しているといいます。

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