線形代数学2 線形空間の具体例

線形代数学

線形代数学の講義では前回、線形空間の定義について書きました。今回は、定義だけを見てもピンとこないと思うので線形空間の具体例について扱っていきたいと思います。

線形空間の定義

まずは線形空間の定義の復習からです。線形空間の定義は次の通りでした。

定義

集合Vがベクトル空間であるとは、加法とスカラー倍が定義されていて、以下の条件を満たすもの。

①\(\bf{0}\)(ゼロベクトル)という特別な元と\(\bf{u,v}\in \bf{V}\Rightarrow \bf{u+v} \in \bf{V}\)が定義されていて、

$$\bf{0+u}=\bf{u+0}=\bf{u}$$

$$\bf{x+(y+z)=(x+y)+z}(結合法則)$$

$$\bf{x+y=y+x}(可変性)$$

②\(\alpha \in \bf{R},\bf{x}\in \bf{V}\)に対し、\(\alpha \bf{x}\)が定義されていて、

$$(a+b)\bf{x}=a \bf{x}+b \bf{x}$$

$$a(\bf{x+y})=a\bf{x}+a\bf{y}$$

$$(ab)\bf{x}=a(b\bf{x})$$

$$1・\bf{x}=\bf{x}$$

線形空間の定義について細かいところは以下の記事で書いていますので参考にしてください。

どうしてこのような定義が必要なのか

どうしてこのような抽象的な定義をするのでしょうか。これは上にリンクを貼った記事でも書いていますがもう一度確認しておきます。

理由は、適用範囲が広がるからという側面が強いです。適用範囲を広げることで、より実用的に使うことができるため、人間は概念的アプローチを必要としているのです。

しかし、初めて学ぶ人間にとってはこのような概念的なアプローチは逆に混乱させる原因となります。そこで今回わざわざ具体例を考えるための記事を作成しました。 早速考えていきましょう。

具体例

\(\bf{V}=\bf{R^n}\)は線形空間(ベクトル空間)の構造をもつものとする。すなわち、上で定義した線形空間の定義を満たすものとする。ただし、\(n\in \bf{N}\)。

\(\bf{V}=\{n 次以下の x の多項式全体\}\)

\(=\{f(x)=a_0+a_1x+・・・+a_nx^n\}\)

ただし、\(a_i \in\bf{R}\)

すなわち、\(\bf{V}\)は線形空間の構造を持つ(多項式はベクトルと解釈される)。このとき、線形空間の定義となる和や実数倍を考えてみる。

和:\(f(x),g(x)\):関数と思い、

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$と定義する。

$$f,g \in \bf{V} \Rightarrow f+g \in v$$となる。

\(f(x)=a_0+a_1x+・・・+a_nx^n\)

\(g(x)=b_0+b_1x+・・・+b_nx^n\)

\(\Rightarrow f(x)+g(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+・・・+(a_n+b_n)x^n:xの多項式\)

スカラー倍:\(x\in \bf{R},f(x) \in \bf{V} \Rightarrow (cf)(x)=cf(x)\)と定義。

この定義が条件を満たしている。

応用

関数の集合が線形空間(ベクトル空間)になることは多いのです。これを関数空間といいます。この応用について少し触れておきたいと思います。

主に物理学で利用することが多いです。量子力学では物理状態をベクトルととらえます。つまり、{物理状態全体}を線形空間(ベクトル空間)と思って線形代数を適用します。これがハイゼンベルク流の量子力学。

一方で、{物理状態全体}を関数空間と思えばもっと楽に理解できます。これがシュレーディンガー流の考え方です。

これらに関しては今回は詳しくは触れません。また機会があればまとめたいと思います。

コメント

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