ラプラス方程式を満たすことの証明~正則の条件から

物理学
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次のような問題を考えましょう。

f(z)が正則であるとき、u(x,y)とv(x,y)がラプラス方程式を満たすことを示せ。

正則関数は次の2式を満たす。

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}・・・(1)$$

$$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}・・・(2)$$

(1)の両辺をxで偏微分すると、

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}・・・(3)$$

(2)の両辺をyで偏微分すると、

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=-\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}・・・(4)$$

f(z)=u(x,y)+v(x,y)は正則なので、偏微分は交換可能。

したがって、

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\delta u=0・・・(5)$$

(1)をyで偏微分すると、

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}・・・(6)$$

(2)式の両辺をxで偏微分

$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}・・・(7)$$

f(z)=u(x,y)+v(x,y)は正則なので、偏微分は交換可能。したがって、(5)と同様に、

$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=\delta u=0・・・(8)$$

以上より、題意が成り立つことが示された。

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