高校数学Ⅰまとめノート No.5 背理法〜背理法とは?そして具体例へ〜

数学Ⅰ基本事項集

今回は数学Ⅰで学ぶ「背理法」という技法について確認していきましょう。この背理法、正直入試で使う場面は少ないんですが、意外なところで出てきたりします。(2020年度入試で言えば、大阪市立大学の複素数平面の問題など。)ので、しっかり確認して、使うときには必要十分な言葉を書けるようにしましょう。

背理法

\(p\Rightarrow q\)を証明するのに「\(p\)かつ\(\overline{q}\)」とすれば不合理であることを示して\(p\Rightarrow q\)が真であるとする証明法を背理法という。

さて、これは一種の証明の手法です。例をみながら考えていきましょう。

背理法の具体例

「\(x^2+y^2\)が奇数ならば, 積\(xy\)は偶数である」ことの証明

「\(x^2+y^2\)が奇数ならば, 積\(xy\)は偶数である」…①

が成り立たないと仮定すれば

「\(x^2+y^2\)が奇数で, 積\(xy\)が奇数である整数\(x, y\)が存在する」…②

ということになる。

まずはその命題が成り立たないと仮定します。その仮定のもとで計算などを進めます。

積\(xy\)が奇数ならば\(x\)も\(y\)も奇数だから, \(m, n\)を整数として

\(x=2m+1,~y=2n+1\)…③

とおける。このとき

\(x^2+y^2=(2m+1)^2+(2n+1)^2\)

\(=2(2m^2 +2n^2 +2m+2n+1)\)

であるから, \(x^2+y^2\)は偶数である。

先ほど仮定した状態で進めたら、おかしくなりましたね。

これは②の前半に矛盾する。

「矛盾した」としっかり書きましょう。

ゆえに,①は成り立つ。

否定したら話がおかしくなった、から否定していないものが正しいのだ!ってことですね

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