高校数学Ⅰまとめノート No.6 【発展】集合と演算

数学Ⅰ基本事項集

ここの分野は正直大学に入ってからの内容です。ただ、ここを知っておくと本質的なところは理解しやすくなるので解説していきます。

演算

集合\(S\)の2つの要素\(a, b\)に対し,1つの法則によって第3の要素\(C\)を求めることを\(S\)における演算という。この演算を\(\circ,\bigtriangleup,\ast\)などで表し、\(a\circ b=c,a\bigtriangleup b=c,a\ast b=c\)などどかく。

例えば足し算。

\(1+2=3\)

これは、1と2という2つの要素を「足す」という法則に基づいて3つ目の要素「3」を求めているということです。

高校数学のレベルでは、たったそれだけの話です。一応、関数の話になればもう少し別の話が出てきますが、それは後ほど。

演算という用語は、大学に入るともっと使います。大学に入るとさらに多種多様な演算を扱うからです。

閉性

\(a\circ b=c\)で\(a\in S,b\in S\)ならば\(c\in S\)がつねに成り立てば, 集合\(S\)は演算\(\circ\)について閉じているという。

閉じている、というのは演算の結果が、演算の前の要素と同じ条件を満たすということです。

たとえば、上で挙げた

\(1+2=3\)

では、「整数で閉じている」ということになります。第1の要素と第2の要素に対して演算をしたら、その演算の結果として出てきた第3の要素も整数になりました。

さて、「論理と集合」の解説はこれでおしまいです。ちょっとダルかったですね。

ここは数学のすべての基礎になるところですので、是非ともしっかりマスターしていって下さいね!

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